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1등은 왜 814만 분의 1인가
로또 1등 확률은 비밀이 아닙니다. 45개 중 순서 없이 6개를 고르는 조합의 수를 세면 됩니다. 학교 수학의 조합 공식과 같고, 기계가 공을 섞는 방식과 별개로 “가능한 표가 몇 장인가”를 묻는 계산입니다.
조합 수
공식은 C(45, 6) = 45! / (6! × 39!) 입니다. 풀어 쓰면 45×44×43×42×41×40을 6×5×4×3×2×1로 나눈 값입니다. 앞의 곱은 순서를 따졌을 때의 가짓수이고, 같은 여섯 숫자가 다른 순서로 적힌 경우를 한 장으로 보기 위해 6!로 나눕니다.
계산하면 8,145,060입니다. 한 게임에 1,000원을 내고 그 8,145,060장 가운데 한 장을 고르는 셈입니다. 1등 확률은 정확히 1/8,145,060입니다.
2등부터 5등
2등은 본번호 5개가 같고 남은 한 칸이 보너스와 같을 때입니다. 본번호 6개 중 5개를 고르는 방법과 보너스 조건을 곱하면 1/1,357,510 근처가 됩니다. 3등은 본번호 5개만 같고 보너스는 다른 경우라 2등보다 흔합니다. 4등(4개)과 5등(3개)은 조합이 훨씬 많아서, 고정 당첨금으로 운영해도 판매액 안에서 감당하는 구조가 됩니다.
대략적인 감만 말하자면, 5등은 “가끔 나오는 작은 환급”, 1등은 “평생 한 번도 안 나와도 이상한 일이 아닌 사건”입니다. 매주 한 장씩 사는 습관이 1등 확률을 실질적으로 바꿔 주지는 않습니다.
지난 회차는 다음 회차를 바꾸지 않는다
공이 기억하지 않습니다. 1이 열 번 나왔다고 11번째에 1이 덜 나오도록 기계가 보정하지 않습니다. 반대로 오랫동안 안 나온 숫자를 “받아야 할 번호”로 취급하는 것도 같은 착각입니다. 이를 도박사의 오류라고 부릅니다.
번호별 출현 횟수 표는 과거 기록의 요약일 뿐입니다. 재미로 볼 수는 있어도, 다음 추첨의 확률표가 아닙니다. 각 회차의 각 조합은 다시 8,145,060분의 1입니다.
기댓값
판매액의 일부가 당첨금 재원이 되고, 나머지 일부는 사업비와 복권기금으로 갑니다. 그래서 구매자 전체로 보면 넣은 돈보다 받는 돈의 합이 작습니다. 개별 1등 당첨자가 큰돈을 받는 것과, 평균적인 구매자가 플러스가 되는 것은 다른 이야기입니다.
오락 비용으로 한도를 정해 두는 편이, “이번엔 통계가 맞을 것”이라는 생각으로 예산을 늘리는 편보다 낫습니다. 번호 생성 도구가 기댓값을 올려 주지도 않습니다. 필터를 거친 조합도 전체 조합 집합의 한 원소일 뿐입니다.
자주 나오는 오해
- 연속 번호는 안 나온다 → 나옵니다. 다만 연속이 많은 표는 사람이 덜 고르는 경향이 있을 뿐입니다.
- 1~22와 23~45를 반반 맞춰야 한다 → 당첨 조건이 아닙니다. 고저가 한쪽으로 기운 1등도 있습니다.
- 자동이 수동보다 잘 된다 → 발행 방식이 공의 물리 법칙을 바꾸지 않습니다.
산술을 한 줄로 다시 적으면 이렇습니다. 45×44×43×42×41×40 = 5,864,443,200. 이를 720(6!)으로 나누면 8,145,060. 이 숫자가 1등 분모입니다. 암기가 아니라, “표가 몇 장이나 존재하는지”를 세는 일입니다.
확률을 아는 이유는 희망을 접으라는 뜻이 아닙니다. 규칙을 오해한 채 돈을 더 쓰지 않게 하려는 것입니다.